Statique : exercices

Sans frottement : Exercice résolu en DUT GMP Première année

Potence encastrée. 6 Inconnues à l’encastrement.

Un homme sur une échelle. Problème plan avec 3 forces

 

Avec frottement : Exercice résolu en DUT GMP Première année

Un homme soulève une charge : Problème plan avec poulie

Pied de biche : problème plan avec adhérence ou pas ?

 

Vidéo : statique graphique avec une esquisse paramétrée de CAO  par Philippe BOISSEAU

Statique, isostatique, hyperstatique

Le système isolé est dit isostatique, quand il y a autant d’inconnues que d’équations. C’est à dire 3 dans le plan ou 6 dans l’espace. La statique peut alors résoudre seule l’équilibre du système isolé.

Quand le système isolé est hyperstatique, il faut utiliser des équations supplémentaires qui sont obtenues grâce à la RDM.
Les 3 méthodes suivantes sont possibles :

Principe de superposition :

A faire

 

Statique, actions mécaniques

Définition :

Action d’un système (objet, solide, ensemble de solides, partie d’un fluide …) sur un autre système, susceptible de déformée, de déplacer ou de maintenir en position ce dernier.
Une action mécanique est toujours exercée par un système sur un autre système.
Elle peut être une action de contact ou une action à distance (poids, magnétisme).
Elle peut être une force ponctuelle (fig 4), une force linéique (fig 5), une force surfacique (fig 6), un moment, voire un couple.
La notion de couple est simple si on connait les torseurs : c’est un torseur qui a sa résultante nulle. Sinon on peut dire qu’un couple est un moment exercé par deux forces égales mais opposées qui ne sont pas colinéaires.

Force :

 fig 1deformée  fig 2tennis  fig 3escalade
 fig 4ponctuelle  fig 5lineique  fig 6surfacique

​Moment : attention de ne pas confondre moment et rotation surtout quand on fait de la STATIQUE !

La vis ne tourne plus, on exerce un moment.

La poutre est statique mais déformée par un moment de flexion le solide est en équilibre sous l’action de 2 moments
tournevis flexion dynamometre

Statique en 2D : Il suffit de connaitre par cœur les 3 modèles suivants pour réussir le BAME.

Liaison ponctuelle

Liaison articulation qui représente une pivot, une pivot glissant, une linéaire annulaire d’axe perpendiculaire au plan, voire une rotule. Un encastrement.
Une seule inconnue dirigée vers la matière et perpendiculaire au plan tangent de contact. Deux inconnues qu’il faut placer sans “réfléchir” positive.

XA et YA. C’est le résultat qui donnera le sens!

3 inconnues : Une résultante à deux composantes XA et YA et un moment NA porté par z si le plan d’étude est x,y.

Statique en 3D : Il suffit de connaitre par cœur les torseurs de liaison.

 

Statique hypothèses

En général, les hypothèses conduisent à simplifier la réalité.

Il faut les faire en connaissances de leurs impacts sur les résultats obtenus. Elles dépendent aussi du moment où elles sont faites : un calcul préliminaire, un avant projet, une vérification, une optimisation…

Le plus simple :
Les liaisons sont parfaites : pas de frottement, pas de jeu.
Le problème a une symétrie plane (Une étude en 2D suffit)
On néglige le poids par rapport aux actions mécanique en jeu (exemple 10 N par rapport à 1000 N)
Bien sûr , le problème est isostatique (Autant d’inconnues que d’équations).

Progressivement on peut aller sur un modèle qui se rapproche de la réalité. Est-ce possible à la main ? Ou faut-il un logiciel ?
En 3 D : facile à la main, par exemple un arbre sur une liaison pivot (rotule + linéaire annulaire)
Introduire le frottement : possible à la main avec les loi de Coulomb…
Introduire le jeu fonctionnel dans les liaison : plutôt un logiciel…
On peut résoudre des problèmes hyperstatiques à la main avec les équations de Menabrea ou de Castigliano ou utiliser des logiciels qui utilisent la MEF.

Statique, méthode

Faire de la statique c’est suivre une recette de cuisine!

  1. Isoler une pièce ou un système matériel.
  2. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME)
  3. Hypothèse simplificatrices:
    1. On néglige les frottements f=0
    2. On néglige le poids en fonction des efforts en jeu.
    3. On travaille dans le plan (2D)
  4. Écrire le Principe Fondamental de la Statique (PFS).
  5. Peut-on résoudre ? (complètement, partiellement…)
  6. Résoudre.

Remarques :

  1. Quand on parle d’extérieur, c’est par rapport au système isolé. Si on isole (6+8) les actions mécanique entre 6 et 8 ne sont pas prises en compte.
  2. Quand on fait le bilan, c’est bien de savoir déjà si on est en 2D (étude plane) ou en 3D étude spatiale). On gagne du temps pour l’écriture des inconnues.
  3. L’écriture du PFS conduit à 2 relations vectorielles :
    1. La sommes des forces = vecteur nul
    2. La somme des moments en un point choisi = vecteur nul
  4. Ce qui conduit à 6 équations scalaires dans l’espace et 3 équations en 2D quand on projette les équations vectorielles sur les 3 axes.
  5. Répondre à “Peut-on résoudre ?” nécessite de compter le nombre d’inconnues et le nombre d’équations.

Statique, couple

Un couple est un torseur particulier. Il a sa résultante nulle.

Un couple de force est un système formé de deux forces ayant la même direction, la même intensité et de sens contraire, appliquées en deux points différents non situés sur la même ligne d’action.

couple

On appelle moment d’un couple C par rapport à un point O le produit de l’intensité de la force par la distance entre les droites d’action.

Mo(C) = F x d

Statique, vecteurs

vecteursLa notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. À ce sens, un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, ce qui permet d’effectuer des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire.

Pour les mécaniciens, le vecteur représente plusieurs réalités physiques : force, vitesse, accélération, contrainte…

C’est un segment de droite orienté. Un sens positif étant choisi sur la droite qui porte un vecteur AB, et une unité de longueur étant choisie, on appelle mesure algébrique de ce vecteur un nombre relatif positif si le vecteur a le sens positif, négatif s’il a le sens contraire, dont la valeur absolue est la mesure du segment AB.

En statique, nous l’utilisons pour représenter :

  • Le poids d’une pièce (en Newton)
  • Une charge ponctuelle (N)
  • Une charge repartie (N/mm)
  • Une action de liaison (N)

Statique, équilibre

La statique étudie les systèmes mécaniques pour savoir s’ils sont en équilibre (ou comment les mettre en équilibre). Par exemple, on dit qu’une boîte de crayons posée sur une table est en équilibre statique. En revanche, un enfant qui fait du vélo ne tombe pas, il s’agit d’un équilibre dynamique, que cette leçon n’étudie pas: il faut donc garder à l’esprit que la statique ne permet pas d’étudier tous les équilibres.